Contribution to the theory of abstract metric spaces

[М. Јовановић]

122 листа

Математичка анализа - Нелинеарна функционална анализа / Mathematical analysis - Nonlinear functional analysis

Ова дисертација је прилог Метричкој теорији фиксне тачке, области која се у последње време интензивно развија. Састоји се из пет поглавља. У првом поглављу доказана је једна позната лема, која се примењује у доказу Banach-овог принципа контракције, исказаног за орбитално комплетне метричке просторе. У другом поглављу доказано је осам теорема које генералишу неке познате резултате о фиксним тачкама у метричким просторима (Boyd-Wоng-ов, Ćirićev, Pant-ов и друге). Неке од тих теорема су модификације познатих, а три су потпуно нове. У трећем поглављу доказане су три теореме које генералишу резултат Немыцкий-а о фиксним тачкама пресликавања у компактним метричким просторима, као и једно уопштење теореме Edelstein-а. Код неких теорема су оригинални доказ и исказане последице. У четвртом поглављу разматрају се b-метрички простори, као уопштења метричких. Изведена је генерализација теореме Zamfirescu-а у b-метричком простору и неке њене примене. Дат је још један нови резултат који се односи на слаба скоро контрактивна пресликавања. У петом поглављу разматрају се конусни метрички простори. Доказане су две теореме као аналогони одговарајућих резултата из обичних метричких простора. Изведена је и једна потпуно нова теорема која за последицу има Banach-ову теорему у конусним метричким просторима над конусом који не мора бити нормалан. Доказана је и генерализација Fischer-ове теореме у конусним метричким просторима са регуларним конусом. Већина резултата снабдевена је одговарајућим примерима који показују у чему се ти резултати разликују од већ познатих.

This dissertation is the contribution to the Metric fixed point theory, the area that has recently been rapidly developing. It contains five chapters. The first chapter gives the proof of one already known lemma. This lemma is used in the proof of Banach’s theorem for orbital complete metric spaces. The second chapter contains the proofs of eight theorems, which generalize some known results from the theory of fixed points in metric spaces (Boyd-Wong’s, ´ Ciri´c ’ s, Pant’ s, and other). Some of these theorems are modifications of the known ones, while three are completely new. Three theorems are proven in the third chapter. They generalize the result of fixed point of mapping defined in compact metric space given by Nemytzki, as well as one generalization of Edelstein’s theorem. The proofs and stated corollaries of some theorems are original. Chapter four discusses b-metric spaces as a generalization of metric spaces. The generalization of Zamfirescu’s theorem of b-metric spaces is presented as well as some of its applications. A new result concerning weakly almost contractive mappings is also determined. Chapter five contains some new results in cone metric spaces. Two theorems are presented as the analogue of the same theorems in the setting of standard metric spaces. A completely new theorem is established which results in the Banach’s theorem in cone metric spaces whereby the cone does not need to be normal. A generalization of Fisher’s theorem in cone metric spaces over a regular cone is also proven. Almost all results in this dissertation are confirmed by corresponding examples, which explain how these results differ from the already known results. Key Words: Cone metric space, normal cone, b-complete metric space, Banach’s contraction, generalized contraction, fixed point, weakly compatible, weakly semi compatible, weakly commutative, the sequence of bounded variation

конусни метрички простор, нормалан конус, b-комплетан метрички простор, Banach-ова контракција, генералисана контракција, фиксна тачка, слаба компатибилност, слаба семикомпатибилност, слаба комутативност, низ ограничене варијације.

cone metric space, normal cone, b-complete metric space, Banach’s contraction, generalized contraction, fixed point, weakly compatible, weakly semi compatible, weakly commutative, the sequence of bounded variation

517.988:515.124(043.3)

Tekst