Title
Вероватносни рачуни секвената и класификација некласичних логика заснована на ентропији
Creator
Boričić, Marija, 1987-
Copyright date
2016
Object Links
Select license
Autorstvo-Nekomercijalno 3.0 Srbija (CC BY-NC 3.0)
License description
Dozvoljavate umnožavanje, distribuciju i javno saopštavanje dela, i prerade, ako se navede ime autora na način odredjen od strane autora ili davaoca licence. Ova licenca ne dozvoljava komercijalnu upotrebu dela. Osnovni opis Licence: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/rs/deed.sr_LATN Sadržaj ugovora u celini: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/rs/legalcode.sr-Latn
Language
Serbian
Cobiss-ID
Committee report
Theses Type
Doktorska disertacija
description
Datum odbrane: 22.12.2016.
Other responsibilities
mentor
Ikodinović, Nebojša, 1973-
član komisije
Božić, Milan, 1952-
član komisije
Ognjanović, Zoran, 1964-
član komisije
Marković, Zoran
University
Univerzitet u Beogradu
Faculty
Matematički fakultet
Alternative title
Probability sequent calculi and entropy based non-classical logics classification
Publisher
[М. Боричић]
Format
VII, 87 листова
description
Математика - Математичка логика / Mathematics - Mathematical logic
Abstract (sr)
После кратког уводног прегледа, рад је подељен на два дела. Први део се
бави присуством вероватноће у логици (в. [16], [17], [18], [19], [22], [23] и [24]),
а други је посвећен примени ентропије у класификацији поливалентних логика
(в. [14], [15], [20], [21] и [25]).
Основна идеја која доминира првим делом рада јесте обогаћивање Gentzen-
овог рачуна секвената класичне логике исказа једним вероватносним оператором
дефинисаним над секвентима Γ ⊢ Δ како би се изразила чињеница да
"вероватноћа истинитости секвента Γ ⊢ Δ припада интервалу [а, б] ⊂ [0, 1]".
Уводимо следеће системе: LKprob, LKprob(ε), NKprob i LKfuzz. Основна
форма секевната у систему LKprob је Γ ⊢ b, a Δ са горе датим значењем.
Систем LKprob(ε) се фокусира на Suppes-ове форме Γ ⊢ n Δ које омогућавају
формализацију реченице "вероватноћа истинитости секвента Γ ⊢ Δ припада
интервалу [1 - nε,1] ⊆ [0, 1]", за неки n ∈ N. Систем NKprob представља
природно-дедукцијски аналогон рачуну секвената LKprob. Модели засновани
на Carnap–Popper–Leblance-овој семантици дефинисани су за сваки од ових
рачуна уз одговарајуће резултате сагласности и потпуности. Коначно, рачун
LKfuzz је уведен са опџтијом формом секвената Γ ⊢ х Δ, где је х елемент
коначне мреже, са циљем да се опише једно расплинуће рачуна LK. Значење
секвента Γ ⊢ х Δ је "да је х мера расплинућа секвента Γ ⊢ Δ". Модели за
LKfuzz су дати са резултатима сагласности и потпуности, а доказ-теоретски
третман рачуна LKfuzz укључује и теорему елиминације сечења.
Други део рада истражује чињеницу да сваки логички систем повезан
са партицијом индукованом одговарајућом Lindenbaum–Tarski–јевом алгебром
омогућава дефинисање његове ентропије. Дефинишемо ентропију логичког система
базираној на геометријској расподели мера над одговарајућом партицијом скупа формула. Ова дефиниција омогућава класификацију поливалентних
исказних логика у односу на њихову ентропију. Асимптотске апроксимације
ентропије неких бесконачновалентних логика су такође дате. Размотрени
примери укључују Lukasiewicz-еву, Kleene-јеву и Priest-ову тровалентну
логику, Belnap-ову четворовалентну логику, Gödel-ове и McKay-еве
m-валентне логике, и Heyting-ову и Dummett-ову бесконачновалентну логику.
Abstract (en)
After a brief introductory survey, this work is divided into two parts. The first
part deals with presence of probability in logic (v. [16], [17], [18], [19], [22], [23] and
[24]), and the second one is devoted to the application of entropy in classification of
many–valued logics (v. [14], [15], [20], [21] and [25]).
The basic idea, dominant in the first part of the work, is to enrich the Gentzen’s
sequent calculus LK for propositional classical logic by a kind of probability operator
defined over the sequents Γ ⊢ Δ in order to express the fact that ”the truthfulness
probability of Γ ⊢ Δ belongs to the interval [a, b] ⊂ [0, 1]”. We introduce the
following four systems: LKprob, LKprob(ε), NKprob and LKfuzz. The basic
form of sequents in LKprob is Γ ⊢ b, a Δ with the above given intended meaning. The
system LKprob(ε) is focused on the Suppes-forms Γ ⊢ n Δ enabling to formalize
the sentence ”the truthfulness probability of Γ ⊢ Δ belongs to the interval [1
- nε,1] ⊆ [0, 1]”, for some n ∈ N. The system NKprob presents a natural deduction
counterpart of the sequent calculus LKprob. The models founded on Carnap–
Popper–Leblance probability semantics are defined for each of these calculi and
accompanied by the corresponding soundness and completeness results. Finally, the
calculus LKfuzz is introduced with a more general form of the sequents Γ ⊢ х Δ,
where x is an element of a finite lattice, with the aim to describe a fuzzification
of LK. The meaning of Γ ⊢ х Δ is that ”x is the fuzziness measure of Γ ⊢ Δ". Models for LKfuzz are given with soundness and completeness results, and a proof–
theoretical treatment of LKfuzz includes the cut–elimination theorem.
The second part of the work explores the fact that each logical system associated
with the partition induced by the corresponding Lindenbaum–Tarski algebra makes
it possible to define its entropy. We define the entropy of a logical system based on
geometric distribution of measures over matching partition of set of formulae. This
definition enables the classification of many–valued propositional logics according to
their entropies. Asymptotic entropy approximations for some infinite–valued logics
are proposed as well. The considered examples include Lukasiewicz’s, Kleene’s and
Priest’s three–valued logics, Belnap’s four–valued logic, Gödel’s and McKay’s m–
valued logics, and Heyting’s and Dummett’s infinite–valued logics.
Authors Key words
вероватносне логике, рачун секвената, модел, сагласност, потпуност, некласичне
логике, расплинуте логике, елиминација сечења, класична двовалентна
ислазна логика, поливалентне исказне логике, Lindenbaum–Tarski–јева алгебра,
партиција, логички систем, мера неодређености, ентропија, класификација
Authors Key words
probability logic, sequent calculus, model, soundness, completeness, non–classical
logics, fuzzy logics, cut–elimination, classical two–valued propositional logic, many–
valued propositional logics, Lindenbaum–Tarski algebra, partition, logical system,
uncertainty measurement, entropy, classification
Classification
510:647 + 510:644 + 519:223(043:3)
Type
Tekst
Abstract (sr)
После кратког уводног прегледа, рад је подељен на два дела. Први део се
бави присуством вероватноће у логици (в. [16], [17], [18], [19], [22], [23] и [24]),
а други је посвећен примени ентропије у класификацији поливалентних логика
(в. [14], [15], [20], [21] и [25]).
Основна идеја која доминира првим делом рада јесте обогаћивање Gentzen-
овог рачуна секвената класичне логике исказа једним вероватносним оператором
дефинисаним над секвентима Γ ⊢ Δ како би се изразила чињеница да
"вероватноћа истинитости секвента Γ ⊢ Δ припада интервалу [а, б] ⊂ [0, 1]".
Уводимо следеће системе: LKprob, LKprob(ε), NKprob i LKfuzz. Основна
форма секевната у систему LKprob је Γ ⊢ b, a Δ са горе датим значењем.
Систем LKprob(ε) се фокусира на Suppes-ове форме Γ ⊢ n Δ које омогућавају
формализацију реченице "вероватноћа истинитости секвента Γ ⊢ Δ припада
интервалу [1 - nε,1] ⊆ [0, 1]", за неки n ∈ N. Систем NKprob представља
природно-дедукцијски аналогон рачуну секвената LKprob. Модели засновани
на Carnap–Popper–Leblance-овој семантици дефинисани су за сваки од ових
рачуна уз одговарајуће резултате сагласности и потпуности. Коначно, рачун
LKfuzz је уведен са опџтијом формом секвената Γ ⊢ х Δ, где је х елемент
коначне мреже, са циљем да се опише једно расплинуће рачуна LK. Значење
секвента Γ ⊢ х Δ је "да је х мера расплинућа секвента Γ ⊢ Δ". Модели за
LKfuzz су дати са резултатима сагласности и потпуности, а доказ-теоретски
третман рачуна LKfuzz укључује и теорему елиминације сечења.
Други део рада истражује чињеницу да сваки логички систем повезан
са партицијом индукованом одговарајућом Lindenbaum–Tarski–јевом алгебром
омогућава дефинисање његове ентропије. Дефинишемо ентропију логичког система
базираној на геометријској расподели мера над одговарајућом партицијом скупа формула. Ова дефиниција омогућава класификацију поливалентних
исказних логика у односу на њихову ентропију. Асимптотске апроксимације
ентропије неких бесконачновалентних логика су такође дате. Размотрени
примери укључују Lukasiewicz-еву, Kleene-јеву и Priest-ову тровалентну
логику, Belnap-ову четворовалентну логику, Gödel-ове и McKay-еве
m-валентне логике, и Heyting-ову и Dummett-ову бесконачновалентну логику.
“Data exchange” service offers individual users metadata transfer in several different formats. Citation formats are offered for transfers in texts as for the transfer into internet pages. Citation formats include permanent links that guarantee access to cited sources. For use are commonly structured metadata schemes : Dublin Core xml and ETUB-MS xml, local adaptation of international ETD-MS scheme intended for use in academic documents.