Title
Фробенијусове алгебре и тополошке квантне теорије поља
Creator
Telebaković Onić, Sonja, 1981-
CONOR:
103240201
Copyright date
2022
Object Links
Select license
Autorstvo-Nekomercijalno-Bez prerade 3.0 Srbija (CC BY-NC-ND 3.0)
License description
Dozvoljavate samo preuzimanje i distribuciju dela, ako/dok se pravilno naznačava ime autora, bez ikakvih promena dela i bez prava komercijalnog korišćenja dela. Ova licenca je najstroža CC licenca. Osnovni opis Licence: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/rs/deed.sr_LATN. Sadržaj ugovora u celini: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/rs/legalcode.sr-Latn
Language
Serbian
Cobiss-ID
Theses Type
Doktorska disertacija
description
Datum odbrane: 26.09.2022.
Other responsibilities
Academic Expertise
Prirodno-matematičke nauke
Academic Title
-
University
Univerzitet u Beogradu
Faculty
Matematički fakultet
Alternative title
Frobenius algebras and topological quantum field theories
Publisher
[С. Телебаковић Онић]
Format
92 листа
description
Математика - Алгебра / Mathematics - Algebra
Abstract (sr)
У овој докторској дисертацији изучавамо везу између Фробенијусових алгебри
и тополошких квантних теорија поља (TQFT). Познато је да свакој дводимензионалној
TQFT (2-TQFT) одговара једна комутативна Фробенијусова алгебра и обрнуто, тј. да
је категорија чији су објекти 2-TQFT еквивалентна категорији комутативних Фробени-
јусових алгебри. Свака 2-TQFT је потпуно одређена сликом једнодимензионалне сфере
S1 и сликама генератора категорије дводимензионалних оријентисаних кобордизама.
Релацијама које важе за ове кобордизме одговарају управо аксиоме комутативне Фро-
бенијусове алгебре.
Пратећи Фробенијусову структуру која је на овај начин додељена сфери S1, испи-
тујемо Фробенијусову структуру сфера свих других димензија. За свако d ≥ 2, сфера
Sd−1 је комутативан Фробенијусов објекат у категорији d-димензионалних кобордизама.
Показујемо да нема разлике међу сферама Sd−1, за d ≥ 2, јер су оне ослобођене било
каквих додатних једнакости које се могу изразити на језику множења, јединице, комно-
жења и којединице. Изузетак је сфера S0 која није комутативан, али јесте симетричан
Фробенијусов објекат.
Сфера S0 се пресликава у матричну Фробенијусову алгебру помоћу брауеријанске
репрезентације, која је пример верног 1-TQFT функтора. Доказујемо да је свака 1-
TQFT, која пресликава нулдимензионалну многострукост која се састоји од једне тачке
у векторски простор димензије бар 2, веран функтор.
На крају, показујемо да комутативној Фробенијусовој алгебри QZ5 ⊗ Z(QS3), која је
настала као тензорски производ групне алгебре и центра групне алгебре, одговара верна
2-TQFT. То значи да су дводимензионални кобордизми еквивалентни ако и само ако су
им одговарајућа линеарна пресликавања једнака.
Abstract (en)
In this dissertation the connection between Frobenius algebras and topological
quantum field theories (TQFTs) is investigated. It is well-known that each 2-dimensional
TQFT (2-TQFT) corresponds to a commutative Frobenius algebra and conversely, i.e., that
the category whose objects are 2-TQFTs is equivalent to the category of commutative Frobe-
nius algebras. Every 2-TQFT is completely determined by the image of 1-dimensional sphere
S1 and by its values on the generators of the category of 2-dimensional oriented cobordisms.
Relations that hold for these cobordisms correspond precisely to the axioms of a commutative
Frobenius algebra.
Following the pattern of the Frobenius structure assigned to the sphere S1 in this way, we
examine the Frobenius structure of spheres in all other dimensions. For every d ≥ 2, the
sphere Sd−1 is a commutative Frobenius object in the category of d-dimensional cobordisms.
We prove that there is no distinction between spheres Sd−1, for d ≥ 2, because they are all free
of additional equations formulated in the language of multiplication, unit, comultiplication
and counit. The only exception is the sphere S0 which is a symmetric Frobenius object but
not commutative.
The sphere S0 is mapped to a matrix Frobenius algebra by the Brauerian representation,
which is an example of a faithful 1-TQFT functor. We obtain the faithfulness result for all
1-TQFTs, mapping the 0-dimensional manifold, consisting of one point to a vector space of
dimension at least 2.
Finally, we show that the commutative Frobenius algebra QZ5 ⊗ Z(QS3), defined as the ten-
sor product of the group algebra and the centre of the group algebra, corresponds to the
faithful 2-TQFT. It means that 2-dimensional cobordisms are equivalent if and only if the
corresponding linear maps are equal.
Authors Key words
Фробенијусова алгебра, тополошка квантна теорија поља, симетрична
моноидална категорија, комутативан Фробенијусов објекат, веран функтор, оријентиса-
на многострукост, кобордизам, нормална форма, брауеријанска репрезентација, Кроне-
керов производ, пермутацијска матрица, Жигмондијева теорема
Authors Key words
Frobenius algebra, topological quantum field theory, symmetric Frobenius ob-
ject, faithful functor, oriented manifold, cobordism, normal form, Brauerian representation,
Kronecker product, commutation matrix, Zsigmondy’s Theorem
Classification
512.623.6:512.552(043.3)
Type
Tekst
Abstract (sr)
У овој докторској дисертацији изучавамо везу између Фробенијусових алгебри
и тополошких квантних теорија поља (TQFT). Познато је да свакој дводимензионалној
TQFT (2-TQFT) одговара једна комутативна Фробенијусова алгебра и обрнуто, тј. да
је категорија чији су објекти 2-TQFT еквивалентна категорији комутативних Фробени-
јусових алгебри. Свака 2-TQFT је потпуно одређена сликом једнодимензионалне сфере
S1 и сликама генератора категорије дводимензионалних оријентисаних кобордизама.
Релацијама које важе за ове кобордизме одговарају управо аксиоме комутативне Фро-
бенијусове алгебре.
Пратећи Фробенијусову структуру која је на овај начин додељена сфери S1, испи-
тујемо Фробенијусову структуру сфера свих других димензија. За свако d ≥ 2, сфера
Sd−1 је комутативан Фробенијусов објекат у категорији d-димензионалних кобордизама.
Показујемо да нема разлике међу сферама Sd−1, за d ≥ 2, јер су оне ослобођене било
каквих додатних једнакости које се могу изразити на језику множења, јединице, комно-
жења и којединице. Изузетак је сфера S0 која није комутативан, али јесте симетричан
Фробенијусов објекат.
Сфера S0 се пресликава у матричну Фробенијусову алгебру помоћу брауеријанске
репрезентације, која је пример верног 1-TQFT функтора. Доказујемо да је свака 1-
TQFT, која пресликава нулдимензионалну многострукост која се састоји од једне тачке
у векторски простор димензије бар 2, веран функтор.
На крају, показујемо да комутативној Фробенијусовој алгебри QZ5 ⊗ Z(QS3), која је
настала као тензорски производ групне алгебре и центра групне алгебре, одговара верна
2-TQFT. То значи да су дводимензионални кобордизми еквивалентни ако и само ако су
им одговарајућа линеарна пресликавања једнака.
“Data exchange” service offers individual users metadata transfer in several different formats. Citation formats are offered for transfers in texts as for the transfer into internet pages. Citation formats include permanent links that guarantee access to cited sources. For use are commonly structured metadata schemes : Dublin Core xml and ETUB-MS xml, local adaptation of international ETD-MS scheme intended for use in academic documents.