ǂThe ǂsixth moment of Dirichlet L-functions over rational function fields

[Д. Ђокић]

листова

Математика - Аналитичка теорија бројева / Mathematics -Analytic number theory

Расподела простих бројева је одређена расподелом нула Риманове зета функције, а посредно и расподелом величине ове функције на критичној линији <s = 1 2. Слично, у циљу разматрања расподеле простих бројева у аритметичким низовима, Дирихле је увео L-функције као уопштење Риманове зета функције. Уопштена Риманова хипотеза, најзначајнији отворени проблем у математици, предвиђа да се све нетривијалне нуле Дирихлеове L-функције налазе на критичној линији. Зато је један од главних циљева у Аналитичкој теорији бројева разматрање момената Дирихлеових L-функција (по одређеној добро дефинисаној фамилији). Веза са карактеристичним полиномима случајних унитарних матрица је један од основних алата за хеуристичко разумевање L-функција и извођење хипотеза о асимптотским формулама за њихове моменте. Асимптотика за парне моменте 1 T T∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ζ (1 2 + it )∣ ∣ ∣ ∣ 2k dt, кад T → ∞, је и даље отворено питање (изузев за k = 1, 2), и повезано је са Линеделефовом хипотезом. У овој дисертацији разматрамо шести момент Дирихлеових L-функција над рационалним функцијским пољима Fq(x), где је Fq коначно поље. Приказаћемо асимптотску формулу за шести момент са троструким усредњењем ∑ Q моничан deg Q=d ∑ χ (mod Q) χ непаран примитиван 2π log q∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣L (1 2 + it, χ )∣ ∣ ∣ ∣ 6 dt 2π log q кад d → ∞. Сва додатна усредњења су тренутно неопходна за добијање асимптотике. Сумирање по Дирихлеовим карактерима и њиховим модулима је мотивисано Теоремом Бомбијери-Виноградова. Наш резултат је аналог за функцијска поља рада [25] за одговарајућу фамилију и усредњавање над пољем Q. Такође, наш главни члан потврђује постојеће хипотезе из Теорије случајних матрица.

The distribution of primes is determined by the distribution of zeros of Riemann zeta function, and indirectly by the distribution of magnitude of this function on the critical line <s = 1 2. Similarly, in order to consider the distribution of primes in arithmetic progressions, Dirichlet introduced L-functions as a generalization of Riemann zeta function. Generalized Riemann hypothesis, the most important open problem in mathematics, predicts that all nontrivial zeros of Dirichlet L-function are located on the critical line. Therefore, one of the main goals in Analytic Number Theory is to consider the moments of Dirichlet L-functions (according to a certain well defined family). The relation with the characteristic polynomials of random unitary matrices is one of the fundamental tools for heuristic understanding of L-functions and derivation hypotheses about asymptotic formulae for their moments. Asymptotics for even moments 1 T T∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ζ (1 2 + it )∣ ∣ ∣ ∣ 2k dt, as T → ∞, is still an open question (except for k = 1, 2), and it is related to the Lindelöf Hypothesis. In this dissertation we consider the sixth moment of Dirichlet L-functions over rational function fields Fq(x), where Fq is a finite field. We will present the asymptotic formula for the sixth moment with the triple average ∑ Q monic deg Q=d ∑ χ (mod Q) χ odd primitive 2π log q∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣L (1 2 + it, χ )∣ ∣ ∣ ∣ 6 dt 2π log q as d → ∞. All additional averaging is currently necessary to obtain the asymptotics. The summation over Dirichlet characters and their moduli is motivated by Bombieri-Vinogradov Theorem. Our result is a function field analogue of the paper [25] for the corresponding family and averaging over field Q. Also, our main term confirms the existing Random matrix theory predictions.

Дирихлеове L-функције, моменти L-функција, рационална функцијска поља, Теорија случајних матрица, Хајесове L-функције

Dirichlet L-functions, moments of L-functions, rational function fields, Random matrix theory, Hayes L-functions

511.331

Tekst