Principles of pseudo-Riemannian Osserman tensors and manifolds

[К. Лукић]

160 стр.

Математика - Геометрија / Mathematics - Geometry

У дисертацији се полази од тензора кривине псеудо-Риманове мно- гострукости или алгебарског тензора кривине на векторском простору са (мо- гуће недефинитним) скаларним производом. Проучавају се особине тензора кривине које су карактеристичне за Риманове Осерманове многострукости, односно принципи Осерманових тензора: дуалност, пропорционалност и ор- тогоналност. Установљени принципи се уопштавају на псеудо-Риманов случај и посматрају двосмерно. Са једне стране занима нас у којој мери ти принципи следе из Осерманових услова, а са друге, у којој мери су Осерманови услови последица установљених принципа. Уведени су квази-Клифордови тензори као уопштење Клифордових тензора, а потом су дати неки довољни услови под којима важи потпуни принцип дуалности за квази-Клифордове тензоре, а представљен је и пример псеудо-Римановог Осермановог тензора за који не ва- жи принцип дуалности. Доказана је теорема о постојању алгебарског тензора кривине за дате Јакобијеве операторе која је искоришћена за доказивање ре- зултата о принципу пропорционалности. Осмишљен је принцип ортогонално- сти као нова потенцијална карактеризација Риманових Осерманових тензора. Сваки Риманов Јакоби-ортогоналан тензор је Осерманов, док су Клифордови и два корена Риманови Осерманови тензори Јакоби-ортогонални. Приказана су уопштења принципа ортогоналности у псеудо-Римановом случају, посебно у случајевима малих димензија 3 и 4.

In this dissertation, we start from the curvature tensor of the pseudo- Riemannian manifold or the algebraic curvature tensor on a vector space with a (possibly indefinite) scalar product. The duality, proportionality and orthogonality principles of Osserman tensors are studied as they are properties of curvature tensors that are characteristic of Riemannian Osserman manifolds. The established principles are generalized to the pseudo-Riemannian case and are observed in two directions. On the one hand, we are interested whether these principles follow from Osserman’s conditions, and on the other, to what extent Osserman’s conditions are a consequence of established principles. Quasi-Clifford tensors are introduced as a generalization of Clifford tensors, and then some sufficient conditions are given under which the totally duality principle holds for quasi-Clifford tensors, and an example of a pseudo-Riemannian Osserman tensor is presented for which the duality principle does not hold. The theorem on the existence of the algebraic curvature tensor for the given Jacobi operators is proved, which is used to prove the results on the principle of proportionality. The principle of orthogonality is devised as a new potential characterization of Riemannian Osserman tensors. Every Riemannian Jacobi-orthogonal tensor is an Osserman tensor, while Clifford and two-root Riemannian Oserman tensors are Jacobi-orthogonal. Generalizations of the orthogonality principle in the pseudo-Riemannian case are presented, especially in the cases of small dimensions 3 and 4.

Осерманова многострукост, Осерманов тензор, Јакобијев опе- ратор, принцип дуалности, принцип ортогоналности, принцип пропорционал- ности, квази-Клифордов тензор

Osserman manifold, Osserman tensor, Jacobi operator, duality principle, orthogonality principle, proportionality principle, quasi-Clifford tensor

514.743:514.764.2(043.3)

Tekst